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Complementos de Firefox que mejoran mi PLE

November 23, 2014, 11:49 am
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Los complementos y extensiones del navegador son pequeños programas, la mayoría gratuitos, que le añaden características y funcionalidades para personalizarlo y adaptarlo a nuestras necesidades.

Entre los complementos y extensiones disponibles para Firefox he elegido cuatro que mejoran la eficiencia, uno para cada una de las distintas fases de la gestión de la información a través del PLE.

Búsqueda de información

 

Resurrect Pages


Este complemento permite el acceso a páginas que han dejado de existir o a versiones antiguas de páginas que sí existen.

A veces las páginas dejan de existir en la red o pierden su contenido original por múltiples motivos. Sin embargo, existen varias formas de acceder a esos sitios perdidos. Resurrect Pages modifica el típico mensaje de página no encontrada añadiéndole una botonera desde la cual acceder a múltiples servicios, como CoralCDN, Google Cache, Yahoo! Cache, The Internet Archive, MSN Cache, Gigablast Cache o WebCite.

Al hacer clic con el botón secundario del ratón sobre una página que sí existe, aparecerá el panel flotante de Resurrect Pages, ofreciendo abrir una versión anterior de la página en una nueva pestaña o ventana.

Resurrect Pages proporciona varias maneras de uso:
  • Menú contextual (clic derecho) en la página consultada/solicitada.
  • Botón el la barra de herramientas.
  • Con el teclado pulsando Ctrl-Shift-U

Para saber más:

Etiquetado y clasificación


Permite generar rápidamente una nube de etiquetas para la página mostrada o cualquier fragmento de texto de ella. Se puede utilizar para analizar rápidamente el uso de palabras clave en la página, tener una visión de su contenido y su contexto. También permite navegar fácilmente por la página a través de la nube de etiquetas generada.

Urim hace el análisis de texto de la página vista considerando el idioma del texto, con sus características morfológicas. Actualmente soporta los siguientes idiomas: español, ingles, francés, alemán, italiano, ruso, danés, holandés, sueco, fines, húngaro, noruego y portugués.


Para crear la nube de etiquetas de la página mostrada hay que usar el icono de Urim en la barra de navegación o el atajo de teclado Alt + Shift + U. La nube de palabras generada muestra una sola palabra, así como, frases largas de dos o tres palabras. Se enumeran un total de 50 palabras de la página. Haciendo clic en una palabra de la nube de etiquetas se salta a la primera aparición de la palabra. Para desplazarse a través de todas las ocurrencias, hay que pulsar F3. Si se selecciona un contenido específico en una página, Urim genera la nube de etiquetas para el texto seleccionado.

Para saber más:

Producción y publicación


Transforma publicaciones de blog, artículos y páginas web en texto claro y de fácil lectura. Con un solo clic, Clearly facilita focalizarse en el contenido que se desea leer al eliminar todos los elementos adicionales como anuncios o elementos de navegación, incluso permite explorar artículos de varias páginas en una única vista integrada. Es posible elegir entre diferentes formatos predefinidos de visualización del contenido o confeccionar uno según las propias preferencias.


Clearly permite guardar los artículos simplificados en el servicio de almacenamiento en la red Evernote, lo que hace posible una lectura posterior o desde otro dispositivo. Clearly ofrece la posibilidad de etiquetar de forma automática los artículos enviados a Evernote para una recuperación rápida y fácil. Es necesario registrate para obtener tu cuenta gratuita de Evernote.

Los atajos de teclado personalizables permiten iniciar Clearly rápidamente y capturar artículos directamente en Evernote.


Para saber más:
                 https://evernote.com/intl/es/clearly/

Comunicación

 


Se trata de un complemento gratuito que permite de forma instantánea marcar y compartir páginas web, blogs, noticias, fotos, vídeos, y cualquier otro tipo de contenido con cientos de redes sociales y de servicios web, entre los que se incluyen los más populares.

AddThis proporciona varias maneras de compartir:
  • barra de herramientas de uso compartido
  • botón de la barra de navegación
  • menú contextual
  • icono de la barra de URL
Cada opción se puede activar o desactivar por separado en las preferencias del complemento.

Permite seleccionar entre más de un centenar las redes y servicios con los que queremos compaartir contenidos. Entre ellos figuran: AIM, Blogger, Delicious, Digg, Facebook, FriendFeed, Friendster, Gmail, Google Bookmarks, LinkedIn, Live, Mixx, MySpace, Orkut, Plaxo, StumbleUpon, Tumblr, Twitter, TypePad, WordPress, Yahoo Bookmarks , y muchos más.

Además AddThis permite:
  • Enviar por correo electrónico, usando la libreta de direcciones de Gmail, Hotmail y Yahoo, sin necesidad de abrir otra aplicación o ventana.
  • Agregar a los favoritos en el navegador.
  • Imprimir la página.
También está disponible como extensión para Google Chrome

Para saber más:

Este artículo forma parte del curso "PLE - Aprendizaje conectado en red" del INTEF.
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Una experiencia de uso de e-porfolios en Matemáticas

November 24, 2014, 11:53 am
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No abunda por la red información acerca de usos del e-porfolio relacionados con las Matemáticas. Entre las experiencias concretas sobre uso de e-portfolios en el aula me ha parecido muy recomendable "EU-FOLIO. E-Portfolio de ESTADÍSTICA - Enseñanza Secundaria Obligatoria", realizada por Luis Javier Rodríguez con el alumnado de Matemáticas de 3º de ESO del Centro Público Integrado “O Cruce” de Cerceda (A Coruña-España) utilizando el e-portfolio en la enseñanza/aprendizaje de la Estadística.

La experiencia está ampliamente documentada y los materiales de trabajo de los estudiantes se hacen públicos bajo licencia "Creative Commons". En mi opinión, un magnífico ejemplo que puede servir como perfecta introducción al uso de los e-porfiolios en Matemáticas en general y más particularmente en Estadística, contenido curricular muy adecuado para ello. También sirve como caso de uso de la plataforma de gestión de e-porfolio Mahara.

 

La presentación Prezi "Experiencia Piloto"la resume. Menciona sus objetivos generales, colección de vistas, tareas, evidencias, herramientas, rúbricas de evaluación de los alumnos, evaluación de la experiencia por los alumnos y las conclusiones técnicas y didácticas.

En la plataforma Mahara se encuentran compartidos los materiales de trabajo para los estudiantes. Incluyen una presentación con los objetivos, una introducción al entorno de trabajo, una descripción de las herramientas y del entrono personal de aprendizaje, las descripciones de las tareas para los alumnos con las actividades y ejercicios a realizar, las herramientas y documentos de consulta a utilizar, las evidencias mínimas a presentar y su autoevaluación. Finalmente se añaden la rúbricas de evaluación de tareas.

"Trabajando con un e-portfolio en Matemáticas" es la presentación introductoria dirigida a los alumnos. En ella se le les explica que es un e-Portfolio, para que sirve, que debe aportar el alumno, el trabajo que tienen que realizar (tareas, evidencias y reflexión). También se les introduce en las herramientas tecnológicas a utilizar (Mahara y symbaloo).

La experiencia incluye un escritorio Symbaloo publicado como "Herramientas sugeridas para trabajar en el e-porfolio del proyecto EU-FOLIO con Mahara".

Este artículo forma parte del curso "PLE - Aprendizaje conectado en red" del INTEF.
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Ampliando mi PLE y mi PLN

December 15, 2014, 12:06 pm
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Como ejercicio final, entre las herramientas y servicios que no han sido utilizados durante este curso, he elegido para ampliar mi PLE principalmente herramientas de filtrado y selección de contenidos matemáticos con aplicación didáctica, valorando especialmente su carácter de herramientas colaborativas.

WolframAlpha

Es un buscador de respuestas desarrollado por la compañía Wolfram Research. Es un servicio en línea que, en lugar de proporcionar una lista de los documentos o páginas web que podrían contenerla como hace Google, responde a las preguntas directamente, calculando la respuesta a partir de una base de conocimiento de datos de origen externo que han sido "curados" y estructurados.

Las respuestas y visualizaciones adecuadas se procesan dinámicamente en lugar de producirlas como resultado de la obtención de un banco de respuestas predefinidas. Por lo tanto difiere también de los motores de búsqueda semántica, los cuales indexan una gran cantidad de respuestas y luego tratan de hacer coincidir éstas con la pregunta hecha.

Se basa en uno de los programas creados por Wolfram Research, Mathematica, que incorpora el procesamiento de álgebra, cálculo numérico y simbólico, visualizaciones y capacidades estadísticas.

MathWorld
Es una enciclopedia matemática de referencia, financiada por Wolfram Research, creadores del software de álgebra computacional Mathematica.

Desde 1995, año en que comenzó a estar disponible a través de internet, continúa creciendo y evolucionando de forma muy activa con la asistencia de miles de colaboradores.

Cuenta con algunos elementos interactivos innovadores que mejoran su utilidad. Entre sus características más destacadas se incluyen:
  • Un poderoso motor de búsqueda de texto completo con funciones básicas y avanzadas de búsqueda.
  • MathWorld Classroom ofrece un conjunto de resúmenes desplegables de más de 300 términos matemáticos.
  • Extensas citas de libros y artículos de revistas, muchas de las cuales son hipervínculos activos.
  • Miles de cuadernos de Mathematica descargables.
  • Existen varios tipos de entradas interactivas, incluyendo applets LiveGraphics3D de geometría tridimensional.

Wolfram Demonstrations Project


Wolfram Research, con el objetivo difundir el uso la exploración computacional, hace disponible en la red un repositorio de pequeños programas interactivos, de código libre, llamados "Demostraciones" destinados a visualizar una representación interactiva de ideas de diversos campos. Por lo general consisten en una interfaz de usuario sobre un gráfico o visualización que es recalculada de forma dinámica en respuesta a las acciones del usuario, como mover un control deslizante, hacer clic en un botón, o arrastrar un trozo de gráfico. Cada demostración incorpora una breve descripción sobre el concepto que se muestra.

El repositorio está organizado en tópicos tales como ciencia, matemáticas, ciencias de la computación, arte, biología y finanzas. Se cubren una gran diversidad de niveles, desde matemática de enseñanza básica hasta temas más avanzados, incluyendo mecánica cuántica y modelos de organismos biológicos.
El sitio está dirigido a educadores y estudiantes, así como a los investigadores que deseen presentar sus ideas a la audiencia más amplia posible.

Es posible ejecutar las "Demostraciones" sin disponer de Mathematica utilizando Mathematica Player, descargable de forma gratuita, que es una versión limitada a la visualización de la aplicación Mathematica.


Sage, Sage Notebook y SageMathCloud

Sage es un sistema algebraico computacional (en inglés CAS) que unifica bajo un único entorno toda una colección de software matemático.
La primera versión de SAGE se publicó en 2005. William A. Stein, desarrollador de Sage, ante la disponibilidad de una amplia gama de software matemático de código abierto bien probado, pero escrito en diferentes lenguajes, decidió integrarlo bajo una interfaz común de forma que únicamente fuera necesario conocer el lenguaje Python.

Sage es software libre, distribuido bajo los términos de la GNU General Public License. Está disponible de varias maneras:
  •  Se pueden descargar binarios para GNU/Linux, OS X y Solaris.
  •  Un CD live que ejecuta una versión del sistema GNU/Linux permite probar Sage sin necesidad de instalarlo.
  •  En Windows, de momento, solo puede ser utilizado a través de software de virtualización como Virtualbox o Vmware.
 Es posible utilizar Sage directamente a través de internet:
  •   Sage Cell Server es una interface web de Sage de fácil uso que además perimite incorporar cálculos con Sage en una página web.
  •   Se puede usar la versión en línea de Sage Notebook, donde de forma colaborativa es posible crear y publicar hojas de trabajo interactivas con código Sage y Python.
Como evolución de Sage Notebook hacia una plataforma colaborativa en red está en fase de pruebas (Beta Test) SageMathCloud.


Documentos en castellano introductorios a Sage

WIRIS quizzes y WIRIS collection

WIRIS quizzes es una herramienta para crear cuestionarios en línea con capacidades matemáticas que permite preguntas aleatorias y evaluación automáticas. Permite crear preguntas añadiendo:
  •     Variables aleatorias (como polinomios, matrices, representaciones gráficas...)
  •     Evaluación automática de las respuestas
  •     Representaciones gráficas en 2D y 3D
  •     Los alumnos disponen de un editor de fórmulas para introducir sus respuestas
  •     Comprobación de sintaxis de la respuesta para preguntas abiertas
  •     Preguntas abiertas, como por ejemplo “Introduce un número real que no sea racional” (Existen infinitas respuestas correctas e incorrectas)
WIRIS collection es un repositorio de ejercicios elaborados y compartidos por profesores. Su objetivo es cubrir todas áreas de las matemáticas de cualquier nivel.


Red Educativa Digital Descartes

Esta red tiene como fin promover la renovación y cambio metodológico en los procesos de aprendizaje y enseñanza de las Matemáticas utilizando los recursos digitales interactivos generados en el Proyecto Descartes.

Se dedica a la producción de recursos educativos, la experimentación e innovación en el aula y a la formación en herramientas y metodología de implementación de las TIC en la Educación.

Los materiales de ProyectoDescartes.org, salvo indicación en contra, se publican bajo una licencia Creative Commons (BY-NC-SA 4.0 International).


tiching

Se trata de una red educativa escolar nacida en el 2009 con un doble objetivo: hacer accesibles todos los contenidos digitales educativos que existen en Internet y difundirlos de forma personalizada, y poner en contacto a toda la comunidad educativa en un espacio creado específicamente para docentes, estudiantes y familias, dando la posibilidad a todos de aportar sus propios contenidos, experiencias y opiniones.

Se ha desarrollado hasta convertirse en una de la redes sociales educativas de referencia a nivel mundial en castellano. Cuenta con más de 450.000 usuarios registrados y está presente en 19 países. Como plataforma de publicación colaborativa de recursos educativos cuenta con más de 500.000 contenidos digitales educativos.


LinkedIn

Consciente de la importancia clave de la identidad digital en el desarrollo profesional también he añadido LinkedIn por ser la mayor red profesional del mundo. Se trata de la mejor herramienta para construir y mantener la identidad digital profesional más allá del ámbito docente.


Mejora de mi Red de Aprendizaje

Una de las consecuencias más importantes de haber seguido este curso ha sido que, gracias a las actividades realizadas, mi PLN se ha ampliado y mejorado notablemente.

Esta la nueva lista pública que he definido en mi perfil Twitter @akusmatico_ dedicada a usuarios que publican sobre PLE.

Y esta es la lista que dedico al seguimiento de temas relacionados con las Matemáticas. A lo largo del curso se ha visto mejorada con numerosas e interesantes incorporaciones ... y algo de limpieza.


Entre las numerosas personas añadidas destacan:

Carlos Magro @c_magro  por la información que aporta y sobre todo por sus reflexiones con las que sintonizo muy ampliamente. Valoro y recomiendo fervorosamente su espacio web co.labora.red por la calidad de los contenidos y por su atractivo y cuidado diseño. Se ha convertido en una de mis referencias en temas de tendencias tecnológicas, innovación, colaboración en red y Educación.

David Álvarez @balhisay una autoridad en las relaciones entre nuevas formas de aprendizaje y las nuevas tecnologías. Sigo con entusiasmo su web E-Aprendizaje. También sigo el blog Conecta13 en él que participa.

Del mismo modo ha sido un gran descubrimiento Jordi Adell @jordi_a. Lo mismo que Javier Guallar @jguallar y Javier Leiva @javierleiva y su web Los Content Curators.

... y muchos más.


Mi PLE al final del curso

Enlazo aquí el artículo que muestra como ha quedado organizado en un escritorio symbaloo mi PLE al final de curso.

Este artículo forma parte del curso "PLE - Aprendizaje conectado en red" del INTEF.
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Mi PLE al final del curso

December 31, 2014, 11:45 am
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Así ha quedado organizado en un escritorio symbaloo mi PLE al final de curso:


Los distintos servicios y herramientas están agrupados utilizando marcadores de distintos colores según la fase del proceso de gestión de la información a la que están orientados principalmente:
  •  Azul:         Búsqueda y filtrado de información.
  •  Rojo:        Organización de la información.
  •  Verde:       Agregación de valor a la información.
  •  Rosa:        Compartición de contenidos.
  •  Ocre:        Generación de nueva información.
Aunque la mayoría de las tecnologías incluidas podrían aparecer en más de una de las categorías utilizadas en la clasificación, para lograr una mayor claridad las he incluido según el mayor uso que hago de ellas.

El siguiente marco incorpora el escritorio para hacer disponibles los enlaces a las distintas herramientas.


Este artículo forma parte del curso "PLE - Aprendizaje conectado en red" del INTEF. 

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Estadística contra Criptografía

May 7, 2015, 3:55 pm
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Matemáticas contra Matemáticas


Un mensaje cifrado siempre tiene un atractivo poderoso que hace difícil sustraerse a la tentación de intentar descifrarlo. Lo misterioso es muy sexy.


Raúl Ibáñez es profesor de Geometría y Topología en la Universidad del País Vasco y uno de los más importantes divulgadores de las Matemáticas en castellano. Descubierto recientemente por el público no especialista por sus aportaciones matemáticas al programa de divulgación científica Órbita Laika que emite TVE2 y que son muy recomendables, por cierto.

Hace unos días Raúl publicó en su cuenta de Twitter, como reto matemático, un tweet con el siguiente mensaje cifrado:

UOGRBSG EOGO EGWBQWEWOBISH SH SZ GSUOZD RSZ EGDPZSAO RS SHIO HSAOBO, FJS QDBHWHIS SB RSHQWTGOG SHIS ASBHOXS. TWGAORD GOJZ.

Lo primero que se me ocurrió, como es propio de nuestra "era Google", fue tratar de encontrar en internet el mensaje sin cifrar, dando por supuesto que alguien ya lo habría descifrado y publicado. Afortunadamente no fue así, no encontré la versión desencriptada. Sin embargo, sí que hallé un artículo haciendo referencia al mensaje en el blog Ciencia al pil pil. Se trata del blog del programa de radio Euskadi La mecánica del caracol, dedicado a la divulgación de la ciencia, la tecnología y la historia, en el que Raúl Ibáñez colabora cada dos martes.

En el programa del pasado 17 de febrero Raúl habló sobre "mensajes cifrados y criptografía" dejando como reto la desencriptación del mencionado mensaje. Puedes escucharlo aquí:
La participación de Raúl va desde el minuto 27:35 hasta el 49:37
También es posible descargar el audio del programa completo aquí.


Matemáticas, codificación y cifrado de información


Entre las funciones de las Matemáticas, además de ordenar y contar, y de medir, está la de codificar, que tiene cada vez mayor importancia en nuestra sociedad.

Codificar una información es transformarla mediante una serie de signos y reglas de forma que pueda ser transmitida, almacenada o analizada. Decodificar sería el proceso inverso y complementario del anterior por el cual la señal codificada es transformada en la información original. Codificar una información no implica voluntad de protegerla, impidiendo accesos no autorizados a la misma.

La Criptografía es un área, inicialmente de las Matemáticas y en la actualidad también de la Informática y la Telemática, que hace uso de métodos y técnicas con el objeto principal de proteger un mensaje o archivo por medio de un algoritmo, usando una o más claves. Con ello se consigue asegurar al menos tres de los cuatro aspectos básicos de la seguridad de la información: la confidencialidad o secreto del mensaje, la integridad del mensaje y autenticidad del emisor, así como el no repudio mutuo entre emisor y receptor.

El hecho de codificar un mensaje para que sea secreto se llama cifrado. El método inverso, que consiste en recuperar el mensaje original, se llama descifrado.

El Criptoanálisis, es la técnica de descifrar textos cifrados sin tener autorización para ello. Criptografía y Criptoanálisis forman la ciencia llamada Criptología.

En la actualidad las Matemáticas juegan un papel fundamental en el diseño de los complejos sistemas que garantizan la integridad y confidencialidad de la información y las comunicaciones.


Descifrando el reto


Lo primero que hay que determinar para desencriptar un mensaje es el idioma original y el tipo de método de cifrado utilizado. Considerando que en este caso es un desafío planteado para que con un poco de pericia y esfuerzo sea posible su solución, hay que conjeturar que el mensaje original está en castellano y que el método no debe ser muy complicado y que muy posiblemente sea alguno de los mencionados por Raúl Ibáñez en el programa. Los espacios y signos de puntuación hacen pensar que Raúl no quiere ponerlo muy difícil y llevan a la hipótesis de trabajo de que el mensaje ha sido cifrado usando un método de sustitución simple, en el que cada letra del alfabeto ha sido reemplazada por otra letra.


Ánálisis de frecuencias: Estadística contra Criptografía.


1.- Comenzamos el análisis de frecuencias computando las veces que aparece cada carácter en el texto cifrado y calculando las correspondientes frecuencias relativas. Para ello podemos utilizar alguna herramienta online como ésta de Richard Knights.

Posteriormente comparamos las frecuencias obtenidas con las frecuencias de aparición de letras en castellano. Tomamos como referencia la tabla de frecuencias que aparece en la Wikipedia.

La siguiente tabla muestra el resultado obtenido:

Frecuencia de aparición de letras en el texto cifrado
LetraSOGHBWRZADEIQJTUFPXCKLMNVYÑ
Nº veces181310976554444322211100000000
Frec. (%)17.812.99.98.96.95.95.05.04.04.04.04.03.02.02.02.01.01.01.000000000
Frecuencia de aparición de letras en Castellano
LetraEAOSRNIDLCTUMPBGVYQHFZJÑXWK
Frec. (%)13,712,58,78,06,96,76,35,95,04,74,63,93,22,51,41,00,90,90,90,70,70,50,40,30,20,00,0

Las frecuencias son más precisas cuanto más extenso es el texto cifrado. En el caso que nos ocupa no lo es mucho y por lo tanto debemos ir avanzando paso a paso.

En adelante escribiremos en mayúsculas el texto cifrado y en minúsculas el texto sin cifrar.

2.- En un primer vistazo a los resultados del análisis de frecuencias deducimos que muy probablemente S=e y O=a. Con ello tendríamos:

UaGRBeG EaGa EGWBQWEWaBIeH eH eZ GeUaZD ReZ EGDPZeAa Re eHIa HeAaBa, FJe QDBHWHIe eB ReHQWTGaG eHIe AeBHaXe. TWGAaRD GaJZ.


3.- Las palabras eH, eZ, ReZ, Re, eB que son candidatas a artículos y conjunciones, nos llevan a pensar que la Z se corresponden con una l, n o s. Y lo mismo pasa con la B y la H. Además ReZ y Re apunta la correspondencia R=d. Después de alguna prueba nos decantamos por la correspondencia R=d y Z=l, con lo que tenemos:

UaGdBeG EaGa EGWBQWEWaBIeH eH el GeUalD del EGDPleAa de eHIa HeAaBa, FJe QDBHWHIe eB deHQWTGaG eHIe AeBHaXe. TWGAadD GaJl.


4.- Las palabras eHIa, eHIa, eH junto con lo apuntado en el punto 3 de que H se debe corresponder con la n o con la s, nos llevan a H=s. Quedando:

UaGdBeG EaGa EGWBQWEWaBIes es el GeUalD del EGDPleAa de esIa seAaBa, FJe QDBsWsIe eB desQWTGaG esIe AeBsaXe. TWGAadD GaJl.


5.- Las palabras esIa, esIe sugieren la correspondencia I=t. Lo que hace:

UaGdBeG EaGa EGWBQWEWaBtes es el GeUalD del EGDPleAa de esta seAaBa, FJe QDBsWste eB desQWTGaG este AeBsaXe. TWGAadD GaJl.


6.- Por lo apuntado en el punto 3 nos queda B se debe corresponder con n. Quedando:

UaGdneG EaGa EGWnQWEWantes es el GeUalD del EGDPleAa de esta seAana, FJe QDnsWste en desQWTGaG este AensaXe. TWGAadD GaJl.


7.- seAana sugiere la correspondencia A=m, con lo que tenemos:

UaGdneG EaGa EGWnQWEWantes es el GeUalD del EGDPlema de esta semana, FJe QDnsWste en desQWTGaG este mensaXe. TWGmadD GaJl.


8.- FJe sugiere las correspondencias F=q y J=u, quedando:

UaGdneG EaGa EGWnQWEWantes es el GeUalD del EGDPlema de esta semana, que QDnsWste en desQWTGaG este mensaXe. TWGmadD Gaul.


9.- Volviendo a los datos de las frecuencias tenemos como probable G=o ó G=r. Tras descartar la primera y sustituir G=r nos queda:

Uardner Eara ErWnQWEWantes es el reUalD del ErDPlema de esta semana, que QDnsWste en desQWTrar este mensaXe. TWrmadD raul.


10.- Eara y ErDPlema sugieren E=p, quedando:

Uardner para prWnQWpWantes es el reUalD del prDPlema de esta semana, que QDnsWste en desQWTrar este mensaXe. TWrmadD raul.


El texto ya parece algo claro, más si tenemos en cuenta que se trata de un mensaje autoreferente. Su contenido alude al regalo por descifrarlo. Una buena broma ;-)

Con un poco más de esfuerzo y tras algunas pruebas llegamos a descifrar el mensaje:

Gardner para principiantes es el regalo del problema de esta semana, que consiste en descifrar este mensaje. Firmado Raúl.


Cifrado César

Después de las tres primeras sustituciones que hemos hecho en el proceso de descifrado, la correspondencia entre los alfabetos utilizados para el mensaje encriptado y el mensaje sin cifrar es:

Cifrado*ABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWXYZ
Original*














a

de







Ello podía habernos hecho plantearnos en algún momento la posibilidad de que Raúl en su afán por facilitar la solución, al encriptar hubiera hecho corresponde la a con la O, la b con la P y hubiera seguido con esa traslación del alfabeto, como finalmente hemos comprobado que ha sucedido. Lo cual nos habría llevado a desencriptar el mensaje mucho más rápidamente.

Cifrado César con desplazamiento + 15  ( a => O )
Cifrado*ABCDEFGHIJKLMNÑOPQRSTUVWXYZ
Original*mnñopqrstuvwxyzabcdefgh
ijkl
* En negrita aparecen las letras usadas en el mensaje

Podemos apreciar que se trata de una encriptación basada en un cifrado César con desplazamiento +15.


Descifrado "asistido"

No lleva mucho tiempo encontrar en internet herramientas que facilitan en gran medida el proceso de desencriptado de este tipo de mensajes, como por ejemplo The_Black_Chamber Substitution Cracking Tool o Cryptogram solver de Rumkin.

Es nuestra decisión utilizarlas o no, pero claramente usarlas no es lo mejor que podemos hacer si lo que queremos es entender cómo funciona la técnica de análisis de frecuencias. Además hay que considerar los placeres de pasar un buen rato ejercitando nuestra mente, de enfrentarse a un reto, y a veces ... vencerlo.


La facilidad con que se descifra este tipo de criptografía, de la que hemos visto un ejemplo, hace que no sea utilizada desde hace mucho tiempo cuando son necesarias unas comunicaciones realmente seguras. Sin embargo fue un sistema considerado seguro durante muchos siglos hasta que se recurrió a los métodos estadísticos del análisis de frecuencias.


Para saber más:

Simon Singh:http://simonsingh.net/cryptography/
Información y utilidades criptográficas en el sitio web de Simon Singh.

The_Black_Chamber:http://www.simonsingh.net/The_Black_Chamber
Sitio de Simon Singh, donde se puede aprender criptografía y criptoanálisis, y practicar con herramientas interactivas de cifrado.

CrypTool:https://www.cryptool.org
Sitio web dedicado a la divulgación de la criptografía y el criptoanálisis. "CrypTool" es un software libre que ilustra conceptos criptográficos muy usado en entornos formativos. El sitio ofrece gran cantidad de material didáctico e incluye el proyecto CrypTool-Online:http://www.cryptool-online.org

Joan Gómez. "Matemáticos, espías y piratas informáticos. Codificación y criptografía". RBA Libros. Barcelona 2010.


30 ;-)
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¿De qué color es el oso?

September 10, 2015, 11:50 am
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¿Cómo saber el color de un oso a partir de datos matemáticos?

 

George Polya - math.info
"Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo problema, hay un cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto; pero si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por propios medios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo."

Así comienza uno de los libros más influyentes de Matemáticas: "Cómo plantear y resolver problemas", publicado en 1945 en la Universidad de Princeton por el matemático húngaro George Polya (1887-1985).


Siguiendo las recomendaciones de Polya, comenzaremos con un reto de los clásicos para reactivar la mente después del verano.
Nike y Adidas - Oso solidario

Partiendo de un punto P, un oso camina un kilómetro al sur. Cambia entonces de dirección y recorre un kilómetro al este. Después, dando vuelta de nuevo a la izquierda, recorre un kilómetro al norte para llegar exactamente al punto de partida P. ¿De qué color es el oso?

Para ver algunas sugerencias que quizá te sirvan de ayuda haz clic aquí.
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La caja más grande

September 10, 2015, 11:57 am
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Leo se dedica a elaborar de forma artesanal cajas de metal. Utiliza para ello planchas metálicas de forma cuadrada de 20 cm de lado. Lleva años estampando sobre las planchas una plantilla como la de la figura que luego recorta. El tipo de soldadura que aplica evita la necesidad de usar lengüetas para unir las caras pero obliga a que la plantilla sea de una única pieza.
 
Se pregunta si, continuando con la utilización de planchas metálicas del mismo tamaño, sería posible diseñar la plantilla de un cubo de otra manera para que una vez ensamblado tuviera un volumen mayor que el de los cubos que hace ahora.
 
¿Cuál es el volumen del cubo de mayor tamaño que puede obtener recortando una plantilla de una sola pieza a partir de un cuadrado de 20 cm de lado?
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Rompecabezas de rectángulos

September 9, 2015, 6:00 pm
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SudokuBlock o laberinto de bloques


¿Cuánto mide el lado superior? Podrías calcularlo sin utilizar fracciones ni ecuaciones.


En Japón hace furor la moda de los "Menseki Meiro". Al igual que entre nosotros los crucigramas o los sudokus están muy extendidos como pasatiempos, en Japón hay publicaciones, e incluso aplicaciones para móviles, dedicadas a estos rompecabezas en forma de laberinto de bloques que perfectamente podrían ser denominados SudokuBlocks.

La idea es muy simple. Se propone una combinación de rectángulos en la que son conocidos las medidas de algunos de los lados y de las áreas. Se trata de deducir y calcular la medida del lado o del área que se indica con un signo ?.

Se podría hacer planteando ecuaciones. El objetivo, menos complicado y más elegante, es hacerlo siguiendo una cadena de deducciones lógicas y empleando únicamente números enteros, evitando todo lo demás, incluso las fracciones. Tampoco vale medir los dibujos ;-)

¡Ánimo! trata de resolverlo y ... ¡no te quedes bloqueado!

Para ver la solución y otro laberinto de bloques haz clic aquí.
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Más rompecabezas de rectángulos

September 9, 2015, 4:17 pm
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Si te han gustado los rompecabezas del anterior artículo puedes seguir practicando con estos otros dos de un nivel de dificultad algo mayor.




¡Ánimo y a por ellos! ... pero cuidado ¡que enganchan!

Para ver la solución haz clic aquí.
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Rompecabezas de rectángulos en 3D

September 11, 2015, 8:06 pm
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¡Un poco más complicado!


Si te apetece un mayor nivel de dificultad, puedes enfrentarte a rompecabezas de "rectángulos" en 3D. En este caso además de rectángulos aparecen también ortoedros, es decir, prismas rectos de caras rectangulares, como las cajas de zapatos. Estos sí serían verdaderamente laberintos de bloques.

 

¡Atrévete a tratar de resolverlos!

Para ver las soluciones haz clic aquí.
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¿De qué color es el oso?

September 24, 2015, 4:55 pm
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¿Cómo saber el color de un oso a partir de datos matemáticos?


George Polya - math.info
"Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la solución de todo problema, hay un cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto; pero si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por propios medios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo."

Así comienza uno de los libros más influyentes de Matemáticas: "Cómo plantear y resolver problemas", publicado en 1945 en la Universidad de Princeton por el matemático húngaro George Polya (1887-1985).


Siguiendo las recomendaciones de Polya, comenzaremos con un reto de los clásicos para reactivar la mente después del verano.
Nike y Adidas - Oso solidario


Partiendo de un punto P, un oso camina un kilómetro al sur. Cambia entonces de dirección y recorre un kilómetro al este. Después, dando vuelta de nuevo a la izquierda, recorre un kilómetro al norte para llegar exactamente al punto de partida P. ¿De qué color es el oso?


Para ver algunas sugerencias que quizá te sirvan de ayuda haz clic aquí ▼▲

Para ver una solución haz clic aquí ▼▲

Para saber más:


Haz clic en la imagen para ampliarla

  • Éstas son las cuatro fases propuestas por Polya para resolver un problema:
     - Comprender el problema.
     - Concebir un plan.
     - Ejecución del plan.
     - Examinar la solución obtenida. No olvidar nunca esta fase.
  • Este reto es un clásico recogido y citado ampliamente. Polya también lo propone en "Cómo plantear y resolver problemas".
  • En el sitio web del profesor Guillermo Verger de Universidad Nacional de Rosario, Argentina, puedes descargarte "Cómo plantear y resolver problemas" en su traducción al castellano.
  • Y en el sitio web de la profesora Helga Ingimundardottir de la Universidad de Islandia (University of Iceland) en Reykjavik, ¡cerca del Polo Norte!, su versión original en inglés "How to solve It".
  • En internet pueden encontrarse numerosas referencias según las cuales este problema ha sido utilizado frecuentemente en las entrevistas de selección de personal de Microsoft.
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¿Para qué sirven las Matemáticas?

September 26, 2015, 8:41 pm
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Las Matemáticas son para siempre


Con humor cautivante, el matemático Eduardo Saénz de Cabezón responde a una de las preguntas más habituales entre los estudiantes: ¿Para qué sirven las Matemáticas?. Explica cómo las Matemáticas, interesantes y bellas por sí mismas, dan soporte y rigor a todas las demás ciencias y a la técnica. Cómo "nos hace comprender mejor el mundo este hermoso en el que estamos y nos ayudan a sortear las trampas del mundo este doloroso en el que estamos". También reflexiona sobre la diferencia entre demostración y conjetura, y la eternidad de los teoremas matemáticos. Acaba con una recomendación sobre cómo usar las Matemáticas para expresar tu amor por otra persona.

Eduardo Saénz de Cabezón es profesor del Departamento de Matemáticas y Computación de la Universidad de La Rioja, y miembro de "The big van theory", grupo de científicos que hacen divulgación mezclando ciencia y humor en sus espectáculos.




Este monólogo podría considerarse como la evolución de "Un teorema es para siempre" con el que ganó la final española de FameLab, el principal certamen internacional de monólogos científicos.
 
Eduardo y sus relatos, como los buenos vinos de Rioja, han sido muy buenos desde siempre y siguen ganando calidad con el tiempo. Toda una demostración magistral de cómo hacer divulgación científica con humor. Me entusiasman sus narraciones. Siempre hay interés en lo que nos cuenta. Pero sobre todo, admiro su capacidad para comunicar, su habilidad para explicar las mates de forma amena y divertida. Envidio el clima alcanzado en sus relatos y aspiro a lograrlo en las clases con mis alumnos. Todo un modelo didáctico.

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Estadística contra Criptografía II

November 28, 2015, 3:30 pm
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Sigue la batalla: Kasiski contra Vigenère


En este artículo, continuación de "Estadística contra Criptografía - Matemáticas contra Matemáticas", veremos un ejemplo de desencriptación de un mensaje cifrado con el método Vigenère.

Raúl Ibáñez dedicó su colaboración del 3 de marzo en el programa de radio Euskadi La mecánica del caracol a seguir tratando el tema "mensajes cifrados y criptografía" incluyendo algunos ejemplos de métodos de cifrado de mensajes un poco más complejos que los de la primera entrega. Concretamente, habló del cifrado Alberti, primer método conocido de cifrado por sustitución que utilizó dos alfabetos. Y del cifrado Vigenère, más sofisticado, que pretende evitar el análisis de frecuencias manteniendo la sencillez del cifrado de Julio César.

Puedes escuchar el programa aquí. La participación de Raúl va desde el minuto 27:42 hasta el 50:12.
También es posible descargar el audio del programa completo aquí.

En la parte final del programa Raúl propuso como reto la desencriptación del siguiente mensaje:


LNU DVMUYR MUD VL LPXAFZ UEF AIOVWVMU OV MUEVMUEZCUD VS YW CIVCF GUCUNYC GALL GRCYTIJTRNNPJ QOP JE MZITYLIA YYKRY EFDUD CAM AVRMZEAM BLE XPJCCQIEH PJTY XVNMLAE ZTIMUOF RUFC


Descifrando el reto


Traicté des chiffres
Gallica - Bibliothèque nationale de France
Como ya indicamos en el artículo dedicado al anterior reto criptográfico, lo primero que hay que determinar para desencriptar un mensaje es el idioma original y el tipo de método de cifrado utilizado. Es razonable conjeturar que también en este segundo desafío el mensaje original está en castellano y el método de cifrado es alguno de los tratados por Raúl Ibáñez. La mayor parte del tiempo estuvo dedicada al cifrado Vigenère. Vamos a estudiar la posibilidad de que haya sido éste el método de cifrado utilizado.

El cifrado Vigenère debe su nombre a una atribución errónea a Blaise de Vigenère que en 1586 publicó "Traicté des chiffres ou secrètes manières d’escrire",en el que explica este método. En realidad el método fue descrito originalmente por Giovan Battista Belasso en su libro de 1553 "La cifra del Sig. Giovan Battista Belasso".

Para entender cómo funciona el sistema de cifrado Vigenère puedes consultar la explicación del propio Raúl Ibánez en el blog del programa.

¿Cuál es la fortaleza del sistema Vigenère? La misma letra se cifra de modo diferente para tratar de evitar el análisis de frecuencias. ¿De cuántas? Tantas como la longitud de la clave utilizada. Cuanto mayor se la longitud de la clave, mayor es la dificultad para desencriptar el mensaje.


Kasiski contra Vigenère

Traicté des chiffres - Pág 50
Gallica - Bibliothèque nationale de France
Pero su fortaleza es al mismo tiempo su mayor debilidad. Cada letra, y lo que es más importante, cada palabra no puede ser cifrada de más maneras distintas que la longitud de la clave utilizada. Por lo tanto, las palabras más frecuentes en el texto original aparecerán repetidas también en el texto cifrado, menos veces, pero es inevitable que aparezcan. Además en el texto cifrado, el número de caracteres que separan la misma forma de cifrar una palabra es un número exacto de veces, es decir, un múltiplo de la longitud de la clave. Ésta es la grieta de seguridad que permite realizar un ataque criptográfico al cifrado de Vigenère y la idea clave del método Kasiski, que debe su nombre al oficial prusiano Friedrich Kasiski que lo publicó en 1863.

Comencemos por un análisis de las cadenas que se repiten y su espaciamiento para determinar las longitudes de la clave más probables:
  • "UDV" se repite 2 veces (aparece 3 veces) separadas por 8 y 32 posiciones.
  • "MUE" se repite 1 vez separada por 4 posiciones.       
  • "MUO" se repite 1 vez separada por 108 posiciones.
  • "VMU" se repite 3 veces separadas por 24, 4 y 4 posiciones.
  • "VMUE" se repite 1 vez separada por 4 posiciones.
Los divisores comunes a todas las separaciones son: 2 y 4. Vamos a suponer que Raúl no ha usado una clave de 2 letras porque haría el reto demasiado fácil. Así que separamos el mensaje cifrado en 4 partes:


1.- Nos quedamos con las letras que ocupan las posiciones 1,5,9, ...

2.- Nos quedamos con las letras que ocupan las posiciones 2,6,10, ...

3.- Nos quedamos con las letras que ocupan las posiciones 3,7,11, ...

4.- Nos quedamos con las letras que ocupan las posiciones 4,8,12, ...


Ahora se trata de aplicar en cada una de las cuatro partes en las que ha quedado dividido el mensaje encriptado un análisis de frecuencias, como al tratar de romper el cifrado César, computando las veces que aparece cada carácter en el texto cifrado, calculando las correspondientes frecuencias relativas y teniendo en cuenta las frecuencias de aparición de letras en castellano. Las letras que más aparecen son, por este orden: E, A, O, S, ... Lo que nos lleva a conjeturar que la clave utilizada ha sido "RAUL".

Al descifrar el mensaje utilizando el método Vigenère con esta clave obtenemos como mensaje original:

una semana mas el regalo del problema de matematicas es el libro gardner para principiantes que se sorteara entre todas las personas que descifren este mensaje firmado raul

Muy en la línea de la autoreferencia y de dar facilidades, como en el anterior programa. La última palabra de 4 letras ayuda bastante.

Descifrado "asistido"

Es fácil encontrar en internet herramientas que facilitan en gran medida el proceso de desencriptado de este tipo de mensajes, como por ejemplo The_Black_Chamber Vigenère Cracking Tool.

Es nuestra decisión utilizarlas o no, pero claramente usarlas no es lo mejor que podemos hacer si lo que queremos es entender cómo funciona la técnica Kasiski de ataque al cifrado Vigenère. Además hay que considerar los placeres de pasar un buen rato ejercitando nuestra mente, de enfrentarse a un reto, y a veces ... vencerlo.


La facilidad con que se descifra este tipo de criptografía, de la que hemos visto un ejemplo, hace que no sea utilizada desde hace mucho tiempo cuando son necesarias unas comunicaciones realmente seguras. Sin embargo fue un sistema considerado seguro durante muchos siglos.

Para saber más:

Simon Singh:http://simonsingh.net/cryptography/
Información y utilidades criptográficas en el sitio web de Simon Singh.

The_Black_Chamber:http://www.simonsingh.net/The_Black_Chamber
Sitio de Simon Singh, donde se puede aprender criptografía y criptoanálisis, y practicar con herramientas interactivas de cifrado.

CrypTool:https://www.cryptool.org
Sitio web dedicado a la divulgación de la criptografía y el criptoanálisis. "CrypTool" es un software libre que ilustra conceptos criptográficos muy usado en entornos formativos. El sitio ofrece gran cantidad de material didáctico e incluye el proyecto CrypTool-Online:http://www.cryptool-online.org

Joan Gómez. "Matemáticos, espías y piratas informáticos. Codificación y criptografía". RBA Libros. Barcelona 2010.

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Firma manuscrita de documentos digitales

December 16, 2015, 1:32 am
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Sobre la incorporación de documentos digitales a libros de actas de papel


En el Instituto de Educación Secundaria donde trabajo cada Departamento Didáctico debe mantener un libro de actas donde queden registradas las reuniones semanales de sus miembros. Se trata de un libro tangible, de papel, con actas escritas a mano y firmas manuscritas de los asistentes a cada reunión. No se permiten las actas en formato electrónico.

Al comienzo de curso, los miembros de cada Departamento tenemos que consensuar los contenidos mínimos de las distintas asignatura adscritas. Además los contenidos mínimos acordados tienen que aparecer en el libro de actas del Departamento y ser firmados por sus miembros. Por otra parte los contenidos mínimos han de ser públicos y figurar en la web del Instituto.

Transcribir de forma manuscrita al libro de actas los contenidos mínimos de cada asignatura supone una dedicación considerable. Asegurar que los documentos que aparecen en la web son los que figuran en las actas firmadas por los profesores es más complicado que lo que en una primera impresión pudiera parecer. El socorrido método de digitalizar los documentos firmados a través de un escáner o de una fotografía, y colgarlos en la web no ofrece todas las garantías exigibles.

Usando algo de criptografía


www.firma-electronica.eu
Las Matemáticas nos permiten, de forma eficiente y con una certeza razonable y adecuada a la necesidad, garantizar que los documentos en formato digital que los profesores hemos firmado no han sido alterados posteriormente. Es decir, se trata de garantizar la integridad de los mencionados documentos. También permiten asegurar que esos mismos documentos son los que aparecen en la web.

La idea es muy sencilla. A partir de cada documento digital que necesita ser firmado generamos un resumen digital utilizando el algoritmo MD5. Para ello usamos la utilidad freewareHashMyFiles desarrollada por NirSoft;es muy fácil encontrar en la red otras herramientas semejantes. Escribimos en el actacorrespondiente el nombre de cada archivo informático y los 32 caracteres que componen su resumen digital; más exactamente, escribimos los 32 dígitos hexadecimales que representan los 128 bits que forman el resumen. Y firmamos de forma manuscrita el acta.

Qué es un resumen digital

Wikipedia: función hash
Una función de resumen digital, también denominada hash (que significa en inglés picar y mezclar), es un conjunto de reglas bien definidas, ordenadas y finitas que consigue mediante pasos sucesivos crear a partir de un texto (por ejemplo un documento, una contraseña o un archivo de cualquier tipo) otro texto, de longitud normalmente fija y pequeña, que depende del primero.

Para ser útil en criptografía una función de generación de resúmenes tiene que cumplir un conjunto de propiedades:
  • Debe ser fácil calcular el resumen de cualquier texto.
  • Debe ser "computacionalmente imposible" deducir el texto original a partir del resumen de un texto desconocido.
  • El resumen debe tener una longitud fija independiente de la longitud del texto original y normalmente menor.
  • El resumen debe depender de todos los bits del texto original. Si se modifica en él un solo bit, el nuevo resumen debería cambiar sustancialmente.
  • Será "computacionalmente imposible" a partir de un texto determinado, encontrar otro texto distinto que tenga el mismo resumen que el primero. Ésto se conoce como resistencia débil a las colisiones.
  • Será "computacionalmente difícil" encontrar un par de textos con el mismo resumen. Esto se conoce como resistencia fuerte a las colisiones.
Estas funciones sirven, entre otros cometidos, para asegurar que no se ha modificado un archivo en una transmisión, hacer ilegible una contraseña o firmar digitalmente un documento.

Qué es el algoritmo MD5

Ronald L. Rivest - MIT
El algoritmo de resumen criptográfico MD5 (Message Digest 5) fue desarrollado en 1992 por el profesor Ronald Rivest del MIT (Instituto Tecnológico de Massachusetts) para mejorar el nivel de seguridad ofrecido por las versiones anteriores de MD, cuidando que fuera sencillo de codificar en forma de programa informático y rápido en su utilización. A partir de cualquier texto, produce siempre un resumen de 128 bits de longitud.

En un principio fue considerado criptográficamente seguro. Pero desde que hacia 2005 ciertas investigaciones revelaron algunas vulnerabilidades, muchos investigadores recomiendan su sustitución por algoritmos alternativos con mayor nivel de seguridad como SHA-1 o RIPEMD-160. A pesar de ello es un algoritmo de resumen muy fácil y rápido de utilizar que es totalmente adecuado para el nivel de exigencia de nuestro propósito.


Para saber más:

Diferenciar la firma digital de la firma electrónica.
http://www.firma-electronica.eu/firma-electronica-digital.html

Información sobre la firma electrónica, firma digital y las posibilidades de aplicación. Descripción de productos software y hardware para la firma electrónica escrita.
http://www.firma-electronica.eu

HashMyFiles: Utilidad desarrollada por Nir Sofer para sistemas operativos Windows que permite generar resúmenes digitales de archivos, utilizando distintos algoritmos como MD5/SHA1/CRC32. No necesita instalación. Utilizable a través de su interface gráfico o en modo comando, lo que permite su inclusión en ficheros de procesamiento por lotes.
http://www.nirsoft.net/utils/hash_my_files.html
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Feliz 2016

January 4, 2016, 6:41 pm
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Mis mejores deseos para este año que comienza
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Una casa con Geometría dinámica

February 4, 2016, 7:39 pm
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Sobre disección y equicomposición de figuras


Ponerse a hacer reformas en casa es algo aterrador; nunca se sabe hasta dónde llegarán ni cómo acabarán. Por otro lado, llega a ser tedioso ver la casa siempre igual. La casa "D*Haus Dynamic", diseñada por el estudio londinense de arquitectos "D*Haus Company" puede ser una opción. En realidad va mucho más allá.


 

Esta casa "ecológica, versátil y adaptable" está diseñada para cambiar según las condiciones ambientales. Los gruesos muros externos y las pequeñas ventanas se convierten en paredes internas, a la vez que las paredes interiores de vidrio pasan a ser las fachadas. Las puertas se convierten en ventanas y viceversa. Según sus diseñadores "para la época de invierno, la casa en forma cuadrada, con pequeñas ventanas y gruesas paredes, se abraza a sí misma. Para tiempo más cálido, la casa se abre como una flor para permitir que la luz y el aire penetren en el interior del edificio y ofrecer completas vistas panorámicas de los alrededores".

D*Haus Company - D*Table - Ver vídeo
"D*Haus Company" es una firma innovadora que aplica de forma muy original la Geometría al mundo de la Arquitectura y del Diseño, siendo un magnífico ejemplo de desarrollo de productos basados en un concepto matemático. Además de la "casa dinámica""D*Haus" ha diseñado también mesas y sistemas de iluminación basándose en la misma disección geométrica. 

Curiosamente, aunque las creaciones de D*Haus Company responden al estilo de vida más moderno, son la culminación de una historia que comienza hace más de un siglo.

El acertijo del mercero


Henry Ernest Dudeney (1857-1930) fue un creador inglés de ingeniosos retos y acertijos matemáticos, publicados en las revistas británicas más populares de la época y recopilados posteriormente en distintos libros. Funcionario de la Corona Británica, aunque no fue un matemático profesional sí alcanzó cierta formación matemática y, sobre todo, estuvo dotado de una gran intuición geométrica.

En 1902, Henry Dudeney publicó en el periódico semanal "Weekly Dispatch" un rompecabezas que planteaba un enigma desconcertante: cómo dividir un triángulo equilátero en cuatro piezas para que recolocadas formaran un cuadrado. En 1905 Dudeney realizo sendas presentaciones del problema ante las prestigiosas sociedades científicas "Royal Society" y "Royal Institution" de Londres. El mismo año fue publicado como desafío en el diario de gran difusión "Daily Mail" y según relata el propio Dudeney, después de recibir cientos de posibles soluciones no hubo ninguna correcta.

El reto fue incluido bajo el título "El acertijo del mercero" ("The Haberdasher's Puzzle") como problema número 26 en la recopilación "Los acertijos de Canterbury" ("The Canterbury Puzzles"), libro publicado por Dudeney en 1907, que narra la historia de un grupo de peregrinos con destino al santuario de San Thomas Becket en Canterbury. Los peregrinos se proponen unos a otros rompecabezas para entretenerse durante el camino. 

"El mercero se resistía a satisfacer las demandas de los peregrinos para que propusiera un acertijo. Tanto le insistieron... que al final se decidió, pidiendo que se le diera un paño en el que recortó un triángulo equilátero perfecto.

Luego, mostrándolo a los demás dijo: "¿Es alguno de vosotros tan diestro en el corte de género como yo? Estimo que no. Cada hombre a su oficio, aunque el estudioso puede aprender del lacayo y el sabio del necio. Mostradme, pues, una manera de cortar este trozo de género en cuatro piezas de manera que puedan reunirse formando un cuadrado perfecto".

Tras varios intentos, los más avezados mostraban soluciones cortando en triángulo en ¡cinco piezas! .... pero no en las cuatro que pedía el mercero. Mientras, él los observaba pero permanecía en silencio. Cuando finalmente le pidieron la solución casi recibe una paliza, pues, declaró que la había olvidado.

Al fin, tras varias noches de incertidumbre, el acertijo quedó resuelto".
Dudeney construyó la solución al acertijo en madera de ébano uniendo las cuatro piezas con bisagras de forma que al girar las piezas con un movimiento de la mano se podía pasar de una figura a la otra.Debido a ello se denomina como "disección de Dudeney" al tipo especial de disección de figuras geométricas en la que todas las piezas están conectadas en una cadena por puntos "bisagra", de tal manera que la transformación de una figura a otra puede llevarse a cabo haciendo pivotar la cadena de forma continua, sin cortar ninguna de las conexiones. En inglés de denominan también "hinged dissections" (hinge puede ser traducido como bisagra, gozne o articulación que gira).

Disección de figuras geométricas


Los rompecabezas consistentes en seccionar figuras en piezas y reensamblarlas para formar otra, como el acertijo del mercero, se han convertido en un clásico entre los divertimentos matemáticos. Son disecciones geométricas. El empleo del método de ladisección ha sido fundamental en el cálculo de áreas desde los orígenes de la Geometría y también se utiliza frecuentemente en la enseñanza para justificar las fórmulas de cálculo del área de figuras elementales.

Disecciones 2-D

Dos figuras se dicen equicompuestas si cortando de cierto modo una de ellas en un número finito de partes, se puede, al disponer estas partes de otra forma, componer con ellas la segunda figura. Claramente, si dos figuras son equicompuestas tienen la misma área. La pregunta recíproca de si dos figuras con la misma área son equicompuestas no tiene una respuesta tan evidente.

El teorema de Wallace-Bolyai–Gerwien establece que tiene una respuesta afirmativa en el caso de los polígonos: Si dos polígonos tienen igual área uno de ellos se puede dividir en partes de forma que es posible componer el segundo trasladando y rotando las piezas obtenidas en la disección. Polígono quiere decir, en este contexto, una figura limitada por un número finito de líneas quebradas formadas por un número finito de segmentos rectilíneos. Puede tener "agujeros". Lo importante es que sea posible dividir la figura en un número finito de triángulos.

La atribución de la autoría original de la demostración es una historia enrevesada. El matemático húngaro Farkas Bolyai demostró el anterior teorema en 1832 y el militar alemán aficionado a las Matemáticas P. Gerwien dio una demostración en 1833 sin tener conocimiento de la de Bolyai. Hay indicios de que el matemático escocés William Wallace ya había dado una demostración en 1807.

Según el teorema de Wallace-Bolyai–Gerwien en el caso de los polígonos es equivalente equicomposición y tener la misma área.

Disecciones 3-D

Si damos el salto de dimensión 2 a dimensión 3 nos preguntaremos si con los poliedros pasa algo análogo. Dos poliedros se dicen equicompuestos si al cortar de cierto modo uno de ellos en un número finito de piezas poliédricas, se puede, al disponer estas piezas de otra forma, componer con ellas el segundo. De forma semejante al caso de los polígonos, claramente, si dos poliedros son equicompuestos tiene el mismo volumen. En este caso la pregunta recíproca de si dos poliedros con el mismo volumen son siempre equicompuestos tiene respuesta negativa.

Se trata de un problema difícil; el tercero en la famosa colección de 23 problemas compilados por Hilbert para la conferencia en París del Congreso Internacional de Matemáticos de 1900 con el objeto de estimular la investigación matemática durante el nuevo siglo. El propio Hilbert, basándose en trabajos de Gauss, ya conjeturó la imposibilidad de equicomponer algunos poliedros del mismo volumen. Y en el mismo año 1900, el matemático Max Wilhelm Dehn, nacido en Alemania y alumno de Hilbert, demostró como contraejemplo que el cubo y el tetraedro del mismo volumen no son equicompuestos.

Según el teorema de Dehn en el caso de los poliedros no es equivalente equicomposición y tener el mismo volumen.

Fuera de Euclilandia

Si abandonamos el mundo euclídeo tenemos que, tanto en la geometría hiperbólica como en la esférica, en dos dimensiones para los polígonos sigue siendo equivalente tener la misma área y ser equicompuestos. Pero en ambas geometrías sigue siendo desconocido que sucede en tres dimensiones; no se sabe si para los poliedros es equivalente o no, tener el mismo volumen y ser equicompuestos.

"Rompecabezas" de otro tipo

Anteriormente hemos hecho referencia a teoremas y conjeturas, acabaremos mencionando una paradoja, un resultado aparentemente contrario a la lógica pero demostrado de forma totalmente rigurosa. La "Paradoja de Banach-Tarski" establece que en tres dimensiones es posible descomponer una esfera en un número finito de piezas (se ha demostrado que son suficientes 5 y que con 4 es imposible) de forma que utilizando únicamente movimientos rígidos (sin deformar las piezas), pueden ser reensambladas para componer dos copias de la esfera original. De manera informal se suele decir que "Un guisante puede trocearse y reensamblarse para formar el Sol".

Las aparentes contradicciones de esta paradoja con nuestra intuición y con los resultados comentados anteriormente no es tal si consideramos que las piezas en las que hay que dividir la esfera "no tienen medida". Las piezas obtenidas en la descomposición tienen una forma tan extraña que no tiene sentido hablar de su volumen.

Además la demostración de la paradoja de Banach-Tarski necesita del axioma de elección por lo que no ofrece una solución constructiva al contrario que la "D*Haus Dynamic" con la que comenzábamos. ;-) 


Para saber más:
  • Boltianski, V.G.: Figuras equivalentes y equicompuestas. Lecciones Populares de matemáticas, Ed. Mir, Moscú 1981.
Esta entrada participa en la Edición 6.X "El grafo" del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Cifras y Teclas 
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    Feliz 2016

    February 14, 2016, 4:49 am
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    En notación más "sunya".

    Pido disculpas por la fricada.
    Es lo que tienen los excesos de comienzo de año ;-)
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    I love desmos

    February 19, 2016, 8:58 pm
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    Mucho más que una calculadora gráfica.


    desmos es una herramienta en línea, gratuita para usos no comerciales, que permite de forma interactiva e instantánea representar gráficamente funciones (reales de una variable real) indicadas explícitamente o implícitamente, tanto de forma cartesiana, paramétrica o polar. Desde rectas y parábolas hasta derivadas y series de Fourier.

    Abrir la gráfica en desmos
    Además de realizar las operaciones habituales de una calculadora científica, desmos representa puntos, desigualdades y funciones definidas a trozos, maneja tablas de valores, muestra máximos, mínimos y puntos de intersección, realiza ajustes estadísticos y resuelve ecuaciones con raíces cuadradas, logaritmos, valor absoluto y más.

    La plataforma desmos incorpora un buen número de funciones modelo que aparecen al crear una nueva gráfica. También ofrece un repositorio de materiales matemáticos producidos por los usuarios y otro de creaciones "artísticas" realizadas con desmos.

    Lo más interesante desde un punto de vista didáctico es que los controles deslizantes hacen que sea muy sencillo ajustar valores de forma interactiva o animar cualquier parámetro para visualizar su efecto sobre la gráfica. Permite manipular y experimentar para desarrollar la intuición y aprender haciendo. Sin olvidar la posibilidad de generar actividades para ser realizadas por los alumnos, de las cuales desmos ofrece un repositorio, la mayoría en inglés.

    Para conservar los escenarios creados es necesario registrase y archivarlos en los servicios de almacenamiento de "la nube" desmos, siendo posible decidor si se quiere, o no, hacerlos públicos.

    desmos, además de en línea, también está disponible como aplicación para Android e iOS. En este caso, aunque no se disponga de acceso a la nube desmos, es posible utilizar la aplicación pero no es posible guardar las gráficas generadas. Sí es posible acceder a los ejemplos y modelos que hayan sido "cacheados" previamente.

    Una última perla, el complemento ideal para desmos: GIFsmos genera GIFs animados a partir de gráficas desmos.

    Sin duda desmos es una excelente herramienta, sencilla, potente y bella; totalmente recomendable.Es fácil quedarse enganchado si la pruebas.

    ¡Amor al primer mordisco! 

    Para saber más:

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    Matemáticas en Concéntrico 02

    May 5, 2016, 11:19 am
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    Sobre las producciones matemáticas de Charles y Ray Eames, y Christopher Alexander


    Hoy arranca el Festival de Arquitectura y Diseño Concéntrico 02, una mirada diferente del centro histórico de Logroño.

    Créditos: http://www.concentrico.es
    Según la información oficial Concéntrico"Propone descubrir y redescubrir los espacios de interés del Centro Histórico de la ciudad. El Festival invita a recorrer estos lugares mediante instalaciones que crean una conexión entre patios interiores, espacios ocultos y pequeñas plazas que habitualmente pasan desapercibidas en el día a día de la ciudad."

    Las Matemáticas forman parte de todos los ámbitos de nuestra vida cotidiana. Matemáticas y arquitectura poseen una larga y fecunda historia conjunta. Algunos proyectos de arquitectura y diseño son un magnífico ejemplo de desarrollo de productos basados en un concepto matemático.

    Seguramente la relación más inmediata entra Matemáticas y arquitectura sea la geometría. Como algunos tratados afirman “Toda creación arquitectónica es geometría”. Otros vínculos son menos evidentes. Este artículo pretende, siguiendo el espíritu de Concéntrico, mostrar nexos más ocultos entre algunas instalaciones del festival y las Matemáticas.



    En la Plaza de Santa Ana, la instalación ARTEFACTOS, de Daniel Montes y Sara Canalejas, de Cluster Arquitectos,  se basa en la construcción de tres artefactos a partir de 108 piezas tomando como referencia el "Juego de Cartas" ("House of Cards") de los diseñadores Charles y Ray Eames.



    Charles y Ray Eames y las Matemáticas


    El matrimonio formado por los estadounidenses Charles (1907 - 1978) y Ray (1912 – 1988) Eames ejerció una influencia muy significativa en la arquitectura y el diseño, tanto de muebles como industrial o gráfico, modernos. Algunas de sus creaciones se han convertido en referencias clásicas. La "Silla Eames" es uno de los diseños de muebles más reconocidos del siglo XX, tanto que forma parte de la colección permanente del Museo de Arte Moderno de Nueva York.Los Eames también concibieron y diseñaron exposiciones así como escribieron y dirigieron numerosos cortometrajes.

    Algunas de sus producciones están dedicadas a la divulgación de las Matemáticas. Entre ellas destacan:

    Exposiciones:


    Fue la primera exposición producida por el matrimonio Eames. Patrocinada por IBM, "Matemática: Un mundo de los números ... y más allá" fue expuesta en el "Museo de Ciencia e Industria de California" en Los Ángeles desde marzo de 1961 hasta enero de 1988. Posteriormente en la universidad de diseño "Art Center" en Pasadena, California. En la actualidad se expone en el museo de la ciencia "New York Hall of Science" de Nueva York.El "Museo de la Ciencia de Boston" exhibe una réplica de la exposición.

    Su objetivo fue ofrecer a todo el mundo la oportunidad de disfrutar de las Matemáticas y de la belleza de diseño, seleccionado historias e imágenes atractivas de diversas áreas matemáticas como probabilidad, topología, álgebra de Boole, geometría, cálculo y lógica.
     
    La exposición sigue siendo considerada en la actualidad como un modelo para la divulgación científica.


    Esta exposición también patrocinada por IBM, trató los patrones matemáticos inherentes al crecimiento y su relación con la sucesión de Fibonacci.


    Cortos documentales:


    Probablemente el cortometraje documental más famoso de los Eames. De acuerdo con su subtítulo "Una película que trata sobre el tamaño relativo de los objetos en el Universo y el efecto de añadir otro cero", presenta el concepto de orden de magnitud basado en factores de diez mostrando la escala relativa de los objetos del Universo.

    A partir de un picnic en la orilla del lago en Chicago, en un ambicioso y memorable travelling, la película nos transporta a los bordes exteriores del universo. Cada diez segundos, vemos el punto de partida diez veces más lejos, hasta que nuestra propia galaxia es visible solo como un punto de luz, entre muchos otros. Volviendo a la Tierra a velocidad vertiginosa nos movemos hacia el interior del cuerpo humano con diez veces más de aumento cada diez segundos. Nuestro viaje termina dentro de un protón de un átomo de carbono de una molécula de ADN de un glóbulo blanco de la sangre.

    Es un cortometraje de carácter divulgativo muy dinámico, ilustrativo e impactante.


    Haz clic aquí para ver la versión original en inglés.

    "IBM Mathematical Peepshows" (1961)

    El film es una colección de cinco cortometrajes encargados por IBM y creados por Charles y Ray Eames para su inclusión en la exposición "Mathematica: A World of Numbers… and Beyond".

    Cada uno de los cinco cortos trata brevemente un concepto matemático, presentándolo de forma divulgativa a través de una simpática animación con voz en off. Una mezcla exquisita del concepto "píldora de información", tan actual, con el aroma de las animaciones de hace más de medio siglo.

    Poster:

    "Men of Modern Mathematics"(1966)

    Cinco años después de la inauguración de la exposición "Mathematica: A World of Numbers… and Beyond", IBM publicó este cartel de grandes dimensiones (0,61 m x 3,66 m) con forma de línea de tiempo.

    Basado en el "Muro de la Historia" de "Mathematica", muestra cronológicamente a través de las biografías y trabajos de los matemáticos más destacados el desarrollo de las Matemáticas del mundo occidental entre los años 1000 y 1950. IBM distribuyó este cartel a las escuelas de todo Estados Unidos. Muchos departamentos de Matemáticas de todo el mundo lo siguen mostrado con orgullo en sus paredes.

    En 2012 IBM lanzó una aplicación iPad gratuita, desarrollada con la asistencia de la Oficina Eames, basada en este cartel con la línea del tiempo actualizada hasta nuestros días. Puedes descargarla aquí.



    Christopher Alexander y las Matemáticas



    En la plaza de San Bartolomé, la instalación 02 + 04 = ALEXANDER PLATZ, de Javier Dulín, arquitecto y profesor de Proyectos de Diseño de Interiores de la Escuela Superior de Diseño de La Rioja (ESDIR), se fundamenta en las teorías de Christopher Alexander y su lenguaje de patrones. 



    Christopher Alexander es uno de los arquitectos y diseñadores más influyentes de la segunda mitad del siglo XX. Actualmente es profesor emérito de arquitectura en la Universidad de California, Berkeley. A lo largo de los más de 40 años de carrera profesional, Alexander ha desafiado las corrientes imperantes en arquitectura poniendo al ser humano en el centro del diseño. Para ello ha combinado formación científica, investigación arquitectónica, enseñanza y verificación de sus teorías a través de sus construcciones. Sus ideas innovadoras y radicales han extendido su influencia mucho más allá del ámbito de la arquitectura, incluyendo entre otros campos, el diseño urbano, la ingeniería de software y la sociología. 

    Nació el 1936 en Viena, Austria, aunque pasó sus primeros 22 años en Inglaterra. Su vinculación con las Matemáticas comienza con su formación académica inicial. Cursó sus estudios en la Universidad de Cambridge, donde obtuvo en 1956 un Máster en Matemáticas antes de licenciarse en Arquitectura en 1958. El mismo año en el que se trasladó a Estados Unidos donde se doctoró en arquitectura en la Universidad de Harvard en 1963.

    Sus dos obras más innovadores e influyentes son "A Pattern Language"  ("Un Lenguaje De Patrones") publicada en 1977 junto con sus alumnos Sarah Ishikawa y Murray Silverstein, y "The Timeless Way of Building" ("El modo intemporal de construir") publicada en 1979. Según Alexander "constituyen un todo indivisible"  son las dos mitades de una misma obra que presentan "un lenguaje para construir y planificar" y "la teoría y las instrucciones necesarias para el empleo de ese lenguaje", e "intentan describir una actitud totalmente nueva con respecto a la arquitectura y el urbanismo". En la idea de que los usuarios son más sensibles a sus necesidades que cualquier arquitecto podría ser, Alexander propone un método estructurado que pone la arquitectura al alcance de personas no especializadas profesionalmente en la materia.

    Desde el comienzo de sus investigaciones Alexander aplicó sus conocimientos matemáticos y el racionalismo al diseño, culminando en la publicación del libro "Notes on Synthesis of Form" ("Ensayo sobre la síntesis de la forma") en 1964. 

    "Notes on Synthesis of Form" (1964)

    Trata sobre el arte del diseño, lo que es, y el método para realizarlo. Las matemáticas que subyacen a este método, basadas principalmente en en teoría de grafos y estadística, están totalmente desarrolladas en el extenso apéndice 2. Estas teoría tuvieron una fuerte influencia en los años 1960 y 1970 en ingeniería de software, como por ejemplo en diseño de lenguajes de programación, programación modular o programación orientada a objetos. 


    "A city is not a tree" (1965)
    "Creo que una ciudad natural tiene la organización de un semirretículo; en cambio, cuando organizamos artificialmente una ciudad, lo hacemos como un árbol"

    En este ensayo escrito en 1965, y considerado como una de las bases conceptuales de la renovación del urbanismo de la época, Alexander, aplicando métodos matemáticos de teoría de conjuntos para entender la estructura de la ciudad y su estructura conectiva,  reflexiona en torno a la complejidad de las ciudades tradicionales en contraposición con la simpleza de los desarrollos urbanos contemporáneos. En "La ciudad no es un árbol"está disponible la traducción al castellano de este artículo.


    "Tres aspectos de matemática y diseño"

    Publicado en 1969 por la editorial Tusquets de Barcelona como número tres de "Cuadernos Ínfimos", agrupa tres artículos fundamentales de la primera etapa investigadora de Alexander donde, según la editorial, trata de "hallar métodos que permitan hacer más lógicas y comprobables las intuiciones del proyectista, acercando así el arte a la ciencia".

    • "Un tema muy solicitado: computadores y diseño". Traducción de "The Question of Computers in Design" (1964)
    • "La ciudad no es un árbol". Traducción de "A City is Not a Tree"(1965), mencionado anteriormente.
    • "Sistemas que generan sistemas". Traducción de "Systems generating Systems"(1967).

    Para saber más:


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    "Decálogo de la Didáctica Matemática Media" de P. Puig Adam

    May 5, 2016, 10:37 am
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    El modo intemporal de enseñar Matemáticas

     

    Hace unos días, revisando la biblioteca del Departamento, aparecieron de forma fortuita entre algunos libros de la primera mitad del siglo pasado, unos números de la "Gaceta Matemática". Al curiosear su contenido comprobé con deleite que en el fascículo de 1955 correspondiente a los números 5 y 6 del tomo VII de la 1ª serie aparece el "Decálogo de la Didáctica Matemática Media" publicado por Pedro Puig Adam.

    Puig Adan (1900-1960), ocupó la cátedra de Matemáticas en el Instituto San Isidro de Madrid desde 1926 hasta su prematuro fallecimiento en 1960. También se hizo cargo de la cátedra de Metodología y Didáctica de la Facultad de Ciencias. Es, por sus contribuciones a la renovación de los métodos de enseñanza, la figura clave de la didáctica de las Matemáticas en España.

    Se acerca el día 12 de mayo, fecha en la que la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas celebra el "Día Escolar de las Matemáticas", coincidiendo con la fecha del nacimiento de P. Puig Adam en el año 1900.

    Me parece una buena ocasión para traer aquí su "Decálogo de la Didáctica Matemática Media".

    DECÁLOGO
    DE LA DIDÁCTICA MATEMÁTICA MEDIA
    por
    P. Puig Adam 

    Se me piden normas didácticas. Preferiría despertar una conciencia didáctica; sugerir formas de sentir antes que modos de hacer. Sin embargo por si valieran, ahí van las sugerencias que estimo fundamentales:
      I.- No adoptar una didáctica rígida, sino amoldarla en cada caso al alumno, observándole constantemente. 
     II.- No olvidar el origen concreto de la Matemática ni los procesos históricos de su evolución.
     III.- Presentar la Matemática como una unidad en relación con la vida natural y social.
     IV.- Guardar cuidadosamente los planos de abstracción.
      V.- Enseñar guiando la actividad creadora y descubridora del alumno.
     VI.- Estimular dicha actividad despertando interés directo y funcional hacia el objeto del conocimiento.
     VII.- Promover en todo lo posible la autocorrección.
    VIII.- Conseguir cierta maestría en las soluciones antes de automatizarlas.
     IX.- Cuidar que la expresión del alumno sea traducción fiel de su pensamiento.
      X.- Procurar a todo alumno éxitos que eviten su desaliento.

    El artículo continúa añadiendo un breve comentario a cada uno de los puntos "para precisar el alcance de cada uno de estos preceptos".

    Este decálogo recoge la esencia de las inquietudes pedagógicas y del contacto real con la enseñanza de una mente brillante. En estos tiempos en los que todo cambia tan deprisa agrada comprobar cómo permanecen plenamente vigentes las mejores prácticas de los mejores profesores. Aunque hayan pasado más de 60 años.

    Para saber más:
    • Puig Adam, P.: Decálogo de la Didáctica Matemática Media. Gaceta Matemática. 1ª serie Tomo VII, números 5 y 6. Instituto Jorge Juan de Matemáticas y la Real Sociedad Matemática Española. Madrid , 1955. Pág:130-131, 132-133,134-135.
    • Puig Adam, P.: La Matemática y su enseñanza actual. Ministerio de Educación Nacional. Madrid, 1960.
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